\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{titling}

\begin{document}
\title{Matemaatika Võistlus}
\date{31.03.2016}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item 
Kas leidub funktsioon $f:\mathbb R \to \mathbb R$, mille korral
eksisteerivad ühepoolsed tuletised
\[
f'_+(0) := \lim_{h \to 0+} \frac{f(h) - f(0)}{h} \in \mathbb R
\]
ja 
\[
f'_-(0) := \lim_{h \to 0-} \frac{f(h) - f(0)}{h} \in \mathbb R,
\]
kusjuures funktsioonid $f$, $f^2$ ja $f^3$ ei ole diferentseeruvad punktis $0$, aga $f^4$ ja $f^5$ on? (Siin $f^n(x) = (f(x))^n$.)

\item
Arvuta
\[
\left(
\begin{matrix}
\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x\\
 \end{matrix}
 \right)^{2016}.
\]
\item
Rahuldagu funktsioon $g : (0, \infty) \to (0, \infty)$ 
kõikide positiivsete $x$ ja $y$ korral tingimusi
\[
\lim_{n\to \infty} \frac{g_{n}(x)}{g_{n+1} (x)} = 2
\]
ja
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{g_n(x)}{g_n(y)} \in (0,\infty),
\]
kus $g_1(x) = g(x)$ ja $g_{n+1}(x) = g(g_n(x))$, $n \geq 1$. Tõesta, et leidub funktsioon $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ nii, et iga $x > 0$ korral
\[
2f(g(x)) = f(x).
\]
\item
Ruutmaatriksite $X$, $A$ ja $S$ korral kehtivad võrdused $S^2 = 0$ ja
\[
X + SX + XS = A.
\]
Väljenda $X$ maatriksite $S$ ja $A$ kaudu.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Lahendused}
\begin{enumerate}
\item 
Esiteks paneme tähele, et $f(h) \to f(0)$ kui $h \to \pm 0$, aga $f'_+(0) \neq f'_-(0)$ (sest $f$ pole diferentseeruv). Fikseerime täisarvu $k \geq 2$. Siis protsessis $h \to \pm 0$ saame
\[
\frac{f^k(h) - f^k(0)}{h} = 
\frac{f(h) - f(0)}{h} (f(h)^{k-1} + f(h)^{k-2}f(0) + \dots + f(0)^{k-1})
\to k f'_{\pm}(0) f(0)^{k-1}.
\]
Siit on selge, et $f^k$ on diferentseeruv parajasti siis, kui $f(0) = 0$.
\item
Paneme tähele, et $x$, $y \in \mathbb R$ korral
\[
\left(
\begin{matrix}
\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x\\
 \end{matrix}
 \right) + \left(
\begin{matrix}
\cos y & -\sin y\\
\sin y & \cos y\\
 \end{matrix}
 \right) = 
 \left(
\begin{matrix}
\cos(x + y) & -\sin(x+y)\\
\sin(x + y) & \cos(x+y)\\
 \end{matrix}
 \right),
\]
kust 
\[
\left(
\begin{matrix}
\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x\\
 \end{matrix}
 \right)^{2016} = \left(
\begin{matrix}
\cos(2016 x) & -\sin (2016 x)\\
\sin (2016 x) & \cos (2016 x)\\
 \end{matrix}
 \right).
\]
\emph{Märkus.} Tegelikult maatriksite ringi $Mat_2(\mathbb R)$ alamring 
\[
\left\{
\left(
\begin{matrix}
a & -b\\
b & a\\
 \end{matrix}
 \right) | a,b\in\mathbb R
\right\}
\]
on isomorfne kompleksarvude korpusega $\mathbb C$. Selle isomorfismi suhtes 
\[
\left(
\begin{matrix}
\cos x & -\sin x\\
\sin x & \cos x\\
 \end{matrix}
 \right) 
\sim
\cos x + i \sin x = e^{ix}
\]
ja ülesanne taandub võrdusele $(e^{ix})^{2016} = e^{i \cdot 2016 x}$.
\item
Fikseerime suvalise $y \in (0, \infty)$ ja defineerime
\[
f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{g_n(x)}{g_n(y)}.
\]
Siis
\[
2f(g(x)) = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{g_{n+1}(x)}{g_n(y)} =
2 \lim_{n \to \infty} \frac{g_{n+1}(x)}{g_n(x)} \lim_{n \to \infty} \frac{g_{n}(x)}{g_n(y)} = 2 \cdot \frac 12 \cdot f(x) = f(x).
\]
\emph{Märkus.} See on Koenigs'i algoritm Schröderi funktsionaalvõrrandi $f(g(x)) = sf(x)$ lahendi leidmiseks.
\item
Korrutades võrrandit maatriksiga $X$ vasakult, paremalt ja mõlemalt poolt saame vastavalt
$SX + SXS = SA$, $XS + SXS = AS$ ja $SXS = SAS$, kust
\[
X = A - SX - XS  = A - SA - AS + 2SAS.
\]
\end{enumerate}


\end{document}

