\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{titling}

\usepackage[estonian]{babel}

\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\fl}{\lfloor}{\rfloor}
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}

\title{Tartu Ülikooli matemaatika olümpiaad}
\date{12.05.2017}

\begin{document}

\maketitle
\begin{enumerate}
\item
Olgu $\alpha,\beta \in \mathbb C$ sellised, et $|\alpha|=|\beta|=1$ ja $|\alpha-\beta|=\sqrt{2}$. 
Tõesta, et $\beta=\mathrm{i}\alpha$
või $\beta=-\mathrm{i}\alpha$.
\item
Kumb on suurem, $\pi^3$ või $3^\pi$?
\item
Olgu $A\in\Mat_{4,2}(\mathbb R)$ ja $B\in\Mat_{2,4}(\mathbb R)$ nii, et
\[
AB=\left(\begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 5 & -2 \\
0 & 3 & 4 & 3 \\
2 & -5 & -2 & 0 \\
1 & 4 & 0 & -2\end{array}\right).\]
Leia maatriks $BA$.
\item
Leia kõik reaalarvuliste kordajatega polünoomid $P$, mille korral
\[
P(x)^2 - P(y)^2 = P(x+y)P(x-y)
\]
kõikide $x,y\in \mathbb R$ jaoks.
\item
Olgu $G$ rühm, mis on moodustatud fikseeritud elementide $a,b\in G$ kõikvõimalikest korrutistest,
kusjuures $aba=b^3$ ja $b^5 = 1$.
Tõesta, et $G$ on Abeli rühm.
\item
Milliste $x>0$ korral koondub rida 
\[
\sum_{n=2}^\infty \ln \left(1 + \frac{(-1)^n}{n^x}\right)?
\]
%\item
%Olgu $f,g:(0,\infty) \to (0,\infty)$ pidevad kahanevad funktsioonid, kusjuures $f^{-1} = g$ ja 
%\[
%\int_0^\infty f(t) dt = \int_0^\infty g(s) ds = a \in \mathbb R.
%\]
%Tõesta, et 
%\[
%\int_0^\infty (f(t))^2 dt + \int_0^\infty (g(s))^2ds \geq \frac 1 2 a^{3/2}.
%\]
%\item
%Olgu $n \in \mathbb N$, $n \geq 2$. Hulka $X \subset \mathbb R^n$ nimetatakse \emph{teravaks}, kui iga kolm selle hulga punkti moodustavad teravnurkset kolmnurka. Olgu $f(n)$ maksimaalne võimalik terava hulga $X \subset \mathbb R^n$ elementide arv. Tõesta, et 
%\[
%2f(n) \leq f(n+2) < \infty.
%\]
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Lahendused}
\begin{enumerate}
\item
Võtame võrduse $|\alpha-\beta|=\sqrt{2}$ pooled ruutu, saame, et
\[
(\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})=2,
\]
seega
\[
\alpha\overline{\alpha}-\alpha\overline{\beta}-\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}=2,
\]
millest
\[
\alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha}=0.
\]
Seega 
\[
\alpha^2+\beta^2=\alpha^2\beta\overline{\beta}+\beta^2\alpha\overline\alpha=\alpha\beta(\alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha})=0,
\]
millest järeldubki, et $\alpha^2=-\beta^2$ ja seega $\alpha\in\{\pm\mathrm{i}\beta\}$.

\emph{Lahendus 2.} Paneme tähele, et komplekstasandi punktid $\alpha$, $\beta$ ja nullpunkt moodustavad võrdhaarse kolmnurga, külgedega
$1$, $1$ ja $\sqrt{2}$. Seega on tipunurk
$90^\circ$ ning järelikult on üks kompleksarv saadav teisest korrutades kompleksarvuga $\pm(\cos\frac\pi2+\mathrm{i}\sin\frac\pi2)=\pm\mathrm{i}$.

\item
Olgu $f(x)=3^x x^{-3}$, kus $x > 0$. Siis
\[
f'(x) = \frac{3^x(x\ln 3 - 3)}{x^4} > 0,
\]
kui $x > \frac 3 {\ln 3}$. Kuna $\frac 3 {\ln 3} < 3 < \pi$, siis
$f(3) = 1 < f(\pi) = \frac{3^\pi}{\pi^3}$ ehk $\pi^3 < 3^\pi$.

\emph{Lahendus 2.}
Samasugust arutelu saab teha ka funktsiooniga $f(x) = \frac{\ln x} x$, mis on kahanev $x > e$ korral, või ka teistega, nagu $g(x) = x^3 - 3^x$ ja $h(x) = (3+x)^{\pi - x}$.

\item
Vaadeldes maatriksit $A$ kui kahest $2\times 2$ plokist koosnevat veergu $\left(\begin{array}{r}P \\ Q\end{array}\right)$
ning $B$ samamoodi kui rida maatriksitest $R$ ja $S$, kehtib $PR=3E$ ja $QS=-2E$. Seega $\frac13P$ ja $R$ on üksteise pöördmaatriksid
ja $\frac{1}{-2}Q$ ja $S$ on üksteise pöördmaatriksid. Näeme, et $BA=RP+SQ=3E-2E=E$.

\item
Võttes $y = x - T$, saame
\begin{equation}
\label{bla}
    P^2(x) = P^2(x-T) = P(2x - T)P(T).
\end{equation}
Kui $T$ on polünoomi $P$ juur, siis $P^2(x) = P^2(x-T)$, st $P^2$ on perioodiline
perioodiga $T$.
Paneme tähele, et (\ref{bla}) kehtib ka kõikide kompleksarvuliste $x$ ja $T$ korral,
sest see on ekvivalentne mingisuguste kordajatevaheliste seostega.

Seega polünoomi $P$ iga kompleksne juur on polünoomi $P^2$ (kompleksne) periood.
Aga mittekonstantsel polünoomil ei saa olla nullist erinevat perioodi, sest
$|P^2(z)| \to \infty$, kui $|z| \to \infty$. Seega kas $P$ on konstantne ja seega $0$
või kõik teema juured on nullid ehk $P(x) = ax^n$. Siis
\[
x^{2n} - y^{2n} = (x+y)^n(x-y)^n.
\]
Pannes $x=2$, $y=1$, saame $4^n-1 = 3^n$, kust $n=1$. Seega $P(x) = ax$.

\emph{Lahendus 2.}
Võttes $x=y=0$, saame $P(0) = 0$. Diferentseerime $x$ järgi ja siis paneme $y=x$, saame 
\[
2P'(x)P(x) = P(2x)P'(0).
\]
Kui $P'(0) = 0$, siis $P = 0$. Vastasel juhul vasakul on $(2n-1)$. astme polünoom, paremal aga $n$. astme polünoom, millest $n = 2n-1$ ehk $n=1$. Seega $P(x) = ax$.
\item
Piisab näidata, et $ab=ba$, see võimaldab suvaliste $x,y\in G$ korral saada $xy=yx$.

Saame, et $b^{-1}ab=b^2a^{-1}$, mistõttu
\begin{align*}
b^{-2}ab^2&=b^{-1}(b^{-1}ab)b=b^{-1}(b^2a^{-1})b= b^2(b^{-1}a^{-1}b)\\
&=b^2(b^{-1}ab)^{-1}=b^2(b^2a^{-1})^{-1}=b^2ab^{-2}.    
\end{align*}
Järelikult $ab^4=b^4a$. Seega $ab=b^5ab=b(b^4a)b=b(ab^4)b=ba$.
\item
Taylori valemist saame, et 
\[
\ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^x}\right)  = \frac{(-1)^n}{n^x} - c_n,
\]
kus $c_n > 0$ ja $c_n \sim \frac 1 {2n^{2x}}$ protsessis $n \to \infty$.
Kuna rida
\[
\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n^x}
\]
koondub Leibnizi tunnuse järgi, siis algse rea koondumine on samaväärne rea
\[
\sum_{n=2}^\infty  \frac 1 {2n^{2x}}
\]
koonduvusega. Seega vastus on $x > \frac 1 2$.
\end{enumerate}
\end{document}

