\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[intlimits]{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{comment}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{titling}
\DeclareMathOperator{\Realpart}{Re}
\DeclareMathOperator{\res}{res}
\DeclareMathOperator{\spanx}{span}

\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\e}{\varepsilon}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\rea}{\operatorname{Re}}
\everymath{\displaystyle}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\makeatletter
\def\@maketitle{%
  \newpage
  \null
  \vskip 2em%
  \begin{center}%
  \let \footnote \thanks
    {\LARGE \@title \par}%
    \vskip 1.5em%
    {\large \@date}%
  \end{center}%
  \par
  \vskip 1.5em}
\makeatother
\begin{document}
\title{Tartu Ülikooli matemaatikaolümpiaad}
\date{Tartu, 19.05.2023}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\begin{enumerate}
\item On teada, et 
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.
\]
Leidke rea
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)^2}
\]
summa või tõestage, et see rida on hajuv.

\item Olgu $A,B,C$ sõltumatud ühtlase jaotusega juhuslikud suurused väärtustega lõigust $[-N,N]$, kus $N$ on suur reaalarv ($N\gg 4$).
\begin{enumerate}
    \item Leidke tõenäosus, et $B^2-4C\geq0$ (see tähendab, tõenäosus, et ruutvõrrandi $x^2+Bx+C=0$ lahendid on reaalsed). Tõestage, et selle tõenäosuse piirväärtus protsessis $N\to\infty$ leidub ning leidke see piirväärtus.
    \item Leidke tõenäosus, et $B^2-4AC\geq0$ (see tähendab, tõenäosus, et $A=0$ või ruutvõrrandi $Ax^2+Bx+C=0$ lahendid on reaalsed). Tõestage, et selle tõenäosuse piirväärtus protsessis $N\to\infty$ leidub ning leidke see piirväärtus.
\end{enumerate}

\item Olgu antud täisarvud $a_1,\ldots,a_{10}$ nii, et $1\leq a_k\leq 25$ iga $k=1,\ldots,10$ korral. Tõestage, et leiduvad täisarvud $n_1,\ldots,n_{10}$, mis pole korraga nullid, nii, et
\[
\prod_{k=1}^{10}a_k^{n_k}=1.
\]

\item Olgu $A\in\Mat_{3,5}(\mathbb{C})$ ja $B\in\Mat_{5,3}(\mathbb{C})$ sellised maatriksid, et
\[
AB=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}.
\]
Leidke maatriksi $BA$ Jordani normaalkuju.

\emph{Märkus.} Ruutmaatriksi $C\in\Mat_n(K)$ \emph{Jordani normaalkuju} on selline maatriks $J\in\Mat_n(K)$, et $C$ ja $J$ on sarnased (sama lineaarkujutuse maatriksid mingite baaside suhtes) ning mööda $J$ peadiagonaali asuvad Jordani kastid kujul \[
\begin{pmatrix} 
\lambda & 1 & 0 &0&\ldots & 0\\ 
0 & \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0\\
0 & 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix},\]
kus $\lambda$ on $C$ mingi omaväärtus. (Iga omaväärtuse jaoks on vähemalt üks Jordani kast, sealjuures erijuhul võib see ka olla $1\times1$ kast kujul $\begin{pmatrix}\lambda\end{pmatrix}$.) Väljaspool Jordani kaste on maatriks $J$ täidetud nullidega.


\item Olgu funktsioon $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ klassist $C^1$ (see tähendab, et funktsiooni $f$ mõlemad osatuletised $f_x$ ja $f_y$ eksisteerivad kogu tasandil ning on pidevad). Kehtigu võrdus $f_x=f_y$. Olgu iga $x\in\mathbb{R}$ korral $f(x,0)>0$. Tõestage, et
\[
\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2\quad f(x,y)>0.
\]

\item Leidke kõik funktsioonid $\varphi\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$, mis iga kahe vektori $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ korral rahuldavad tingimust
\[
\varphi(\mathbf{u}\times \mathbf{v})=\varphi(\mathbf{u})\times \varphi(\mathbf{v}).
\]

\end{enumerate}

\newpage
\title{Math Olympiad of University of Tartu}
\date{Tartu, 19.05.2023}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\begin{enumerate}
\item We know that
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.
\]
Find the sum of the following series:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)^2}
\]
or prove that the series diverges.

\item Let $A,B,C$ be independent uniform random variables of $[-N,N]$ where $N$ is a large real number ($N\gg 4$).
\begin{enumerate}
    \item Calculate the probability that $B^2-4C\geq0$ (i.e., the probability that the solutions of the quadratic equation $x^2+Bx+C=0$ are real). Prove that the limit of the probability exists as $N\to\infty$ and find this limit.
    \item Calculate the probability that $B^2-4AC\geq0$ (i.e., the probability that $A=0$ or the solutions of the quadratic equation $Ax^2+Bx+C=0$ are real). Prove that the limit of the probability exists as $N\to\infty$ and find this limit.
\end{enumerate}

\item Let $a_1,\ldots,a_{10}$ be integers such that $1\leq a_k\leq 25$ for every $k=1,\ldots,10$. Prove that there exist integers $n_1,\ldots,n_{10}$ not simultaneously zero such that
\[
\prod_{k=1}^{10}a_k^{n_k}=1.
\]

\item Let $A\in\Mat_{3,5}(\mathbb{C})$ and $B\in\Mat_{5,3}(\mathbb{C})$ be matrices such that
\[
AB=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}.
\]
Find the Jordan canonical form of $BA$.

\emph{Remark.} The \emph{Jordan canonical form} of a square matrix $C\in\Mat_n(K)$ is a matrix $J\in\Mat_n(K)$ such that $C$ and $J$ are similar (they are matrices of the same linear transformation with respect to some bases) and Jordan boxes of the form \[
\begin{pmatrix} 
\lambda & 1 & 0 &0&\ldots & 0\\ 
0 & \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0\\
0 & 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}\]
(where $\lambda$ is some eigenvalue of $C$) are situated along the main diagonal of $J$. (For every eigenvalue there is at least one Jordan box, as a special case it can also be $1\times1$ box of the form $\begin{pmatrix}\lambda\end{pmatrix}$.) Outside the Jordan boxes the matrix $J$ is filled in zeros.


\item Let the function $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ belong to class $C^1$ (i.e., both partial derivatives $f_x$ and $f_y$ exist on the real plane and are continuous). Let us have $f_x=f_y$. Let there hold $f(x,0)>0$ for every $x\in\mathbb{R}$. Prove that
\[
\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2\quad f(x,y)>0.
\]

\item Find all functions $\varphi\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ such that for every two vectors $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ there holds
\[
\varphi(\mathbf{u}\times \mathbf{v})=\varphi(\mathbf{u})\times \varphi(\mathbf{v}).
\]

\end{enumerate}

\newpage

\section*{Lahendused}
\begin{enumerate}
\item Olgu 
\[
S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2},
\]
siis ülesande teksti põhjal $S_n\to \frac{\pi^2}{6}$. (Kehtib ka $S_{2n}\to\frac{\pi^2}{6}$, sest koonduva jada osajadad koonduvad samaks piirväärtuseks, mis algne jada ise.)

Saame, et
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n \frac1{(2k-1)^2}&=S_{2n}-\left(\frac1{2^2}+\frac1{4^2}+\frac1{6^2}+\ldots+\frac1{(2n)^2}\right)=\\
&=S_{2n}-\frac14 S_n\to\frac34\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}.
\end{align*}

\emph{Märkus.} Ülesande tekstis on tegelikult liigset informatsiooni, kuna mitmel moel on võimalik näidata, et $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$. Võib-olla lihtsaim on seda tõestada, arendades funktsiooni $f(x)=x^2$ Fourier' ritta. Saame, et
\[
x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{\cos nx}{n^2},\qquad x\in[-\pi,\pi],
\]
ning valime ülalsaadud võrduses $x=\pi$.


\item \begin{enumerate}
    \item Leiame kõigepealt punktide $(B,C)$ hulga pindala, mille korral $B^2-4C<0$. Tegemist on paraboolist $C=\frac{B^2}{4}$ ülespoole jääva pinnaosaga, mille pindala on
\[
\int_{-2\sqrt{N}}^{2\sqrt N} \left(N-\frac{x^2}{4}\right)\,\mathrm{d}x=\left(Nx-\frac{x^3}{12}\right)\Big|_{x=-2\sqrt{N}}^{2\sqrt{N}}=\frac{8N\sqrt{N}}{3}.
\]
Kuna kogu ruudu pindala on $4N^2$, siis tingimust $B^2-4C\geq0$ rahuldavate punktide $(B,C)$ hulga pindala on $4N^2-\frac{8N\sqrt{N}}{3}$ ning vastav tõenäosus on järelikult
\[
1-\frac{\frac{8N\sqrt{N}}{3}}{4N^2}=1-\frac{2}{3\sqrt{N}}.
\]
Et
\[
1-\frac{2}{3\sqrt{N}}\mathop{\longrightarrow}_{N\to\infty}1,
\]
siis oleme saanud, et otsitav piirväärtus on $1$.

\item Otsime nüüd punktihulga 
\[
\left\{(A,B,C)\colon B^2\geq 4AC\right\}
\]
ruumala suhet kogu kuubi $[-N,N]^3$ ruumalasse (mis on $8N^3$).

Tähistame sümboliga $[P]$ tingimust $P$ rahuldavate punktide $(A,B,C)$ hulga karakteristlikku funktsiooni, see tähendab siis
\[
[P](A,B,C)=\begin{cases}1, & \text{kui $P(A,B,C)$ on tõene},\\ 0, & \text{muul juhul}.\end{cases}
\]

Meie ülesandeks on leida suhe
\[
p=\frac1{8N^3}\int_{-N}^N\int_{-N}^N \int_{-N}^N [B^2\geq 4AC]\,\mathrm{d}C\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}B.
\]
Saame, et
\begin{align*}
p&=\frac1{8N^3}\cdot 2\int_{0}^N\int_{-N}^N \int_{-N}^N [B^2\geq 4AC]\,\mathrm{d}C\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}B=\\
&=\frac1{4N^3}\int_{0}^N\int_{-N}^N \int_{0}^N \left([B^2-4AC\geq 0]+[B^2+4AC\geq0]\right)\,\mathrm{d}C\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}B=\\
&=\frac1{4N^3}\int_{0}^N\int_{0}^N \int_{0}^N \left([B^2-4AC\geq 0]+[B^2+4AC\geq0]+{}\right.\\
&\qquad\left.{}+[B^2+4AC\geq 0]+[B^2-4AC\geq0]\right)\,\mathrm{d}C\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}B.
\end{align*}
Et mittenegatiivsete $A,C$ korral alati $B^2+AC\geq0$, siis
\[
p=\frac1{4N^3}\cdot\left(2N^3+2\int_{0}^N\int_{0}^N \int_{0}^N[B^2-4AC\geq 0]\,\mathrm{d}C\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}B\right).
\]
Arvutame edasi sisukat osa, tehes muutuja vahetuse $c=AC$. Saame, et $\mathrm{d}C=\frac{\mathrm{d}c}A$ ning tingimused $B^2-4AC\geq0$ ja $B^2-4c\geq0$ on ekvivalentsed:
\begin{equation*}
\int_{0}^N\int_{0}^N \int_{0}^N[B^2-4AC\geq 0]\,\mathrm{d}C\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}B=
\int_{0}^N\int_{0}^N \frac1A\int_{0}^{AN}[B^2-4c\geq 0]\,\mathrm{d}c\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}B.
\end{equation*}
Vahetame sisemistes integraalides integreerimisjärjekorra, sest
\[
\{(A,c)\colon A\in(0,N), c\in(0,AN)\}=\{(A,c)\colon c\in(0,N^2),A\in(\tfrac cN,N)\}.
\]
Saame, et
\begin{align*}
\int_{0}^N\int_{0}^N \frac1A\int_{0}^{AN}[B^2-4c\geq 0]\,\mathrm{d}c\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}B&=
\int_{0}^N\int_{0}^{N^2} [B^2-4c\geq 0]\int_{\frac cN}^{N}\frac1A\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}c\,\mathrm{d}B=\\
&=-\int_{0}^N\int_{0}^{N^2} \left[c\leq \frac{B^2}{4}\right]\ln\frac{c}{N^2}\,\mathrm{d}c\,\mathrm{d}B=\\
&=-\int_{0}^{N}\int_{0}^{\frac{B^2}{4}} \ln \frac{c}{N^2}\,\mathrm{d}c\,\mathrm{d}B.
\end{align*}
Ositi integreerimise teel leiame, et
\[
\int \ln \frac{x}{N^2} \,\mathrm{d}x=x\ln \frac{x}{N^2} - x+\mathrm{const}.
\]
Arvestama peame ka piirväärtust $\lim_{x\to0+}x\ln x=\lim_{x\to0+}\frac{\ln x}{\frac1x}=\lim_{x\to0+}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}=0$, mis võimaldab logaritmi sisaldavad päratud integraalid (nullpunkti juures läheb integrand lõpmatusse) välja arvutada.
Seega 
\begin{align*}
\int_{0}^N\int_{0}^N \int_{0}^N[B^2-4AC\geq 0]\,\mathrm{d}C\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}B&=
-\int_0^{N}\left(\frac{B^2}{4}\ln \frac{B^2}{4N^2}-\frac{B^2}{4}\right)\mathrm{d}B=\\
&=\int_0^N \left(\frac{B^2}{4}-\frac{B^2}{2}\ln B +\frac{B^2}{2}\ln (2N)\right)\mathrm{d}B=\\
&=\int_0^N \left(\frac{1+2\ln (2N)}{4}B^2-\frac{B^2}{2}\ln B \right)\mathrm{d}B.
\end{align*}
Et veelkord ositi integreerimine annab
\[
\int x^2\ln x\,\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+\mathrm{const},
\]
siis
\begin{align*}
\int_{0}^N\int_{0}^N \int_{0}^N[B^2-4AC\geq 0]\,\mathrm{d}C\,\mathrm{d}A\,\mathrm{d}B&=\frac{1+2\ln 2+2\ln N}{12}\cdot N^3-\frac{N^3}{6}\ln{N}+\frac{N^3}{18}=\\
&=\frac{5+6\ln 2}{36}\cdot N^3.
\end{align*}

Kokkuvõttes on otsitav tõenäosus
\[
p=\frac12+\frac1{2N^3}\cdot\frac{5+6\ln 2}{36}\cdot N^3=\frac12+\frac{5+6\ln 2}{72}=\frac{41}{72}+\frac{\ln 2}{12}\approx 62{,}7\%,
\]
mis piirile $N\to\infty$ minnes muidugi jääb muutumatuks.
\end{enumerate}

\emph{Märkus.} See, et ülesande (a)- ja (b)-osa vastused on erinevad (ning et erinev on ka nende sõltuvus või mittesõltuvus ruudu/kuubi külje/servapikkusest $2N$) on esmapilgul kontraintuitiivne. On ju hästi teada, et võrrandi $Ax^2+Bx+C=0$ saab juhul $A\ne0$ teisendada võrrandiks $x^2+\frac BA x+\frac CA=0$, sealjuures algse ja teisendatud võrrandi lahendid on samad. Veelgi enam, võrrandeid, mille korral $A=0$ (lineaarvõrrandid, samasused $0=0$ ja vasturääkivused $1=0$), on tühisel hulgal võrreldes ruutvõrranditega, kus $A\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, mistõttu lineaarvõrrandite "`lisandumine"' ei peaks vastust oluliselt mõjutama.

Ometigi pole ülesande osad sellise teisenduse abil üksteiseks viidavad, kuna teisendatud võrrandi $x^2+\frac BA x+\frac CA=0$ kordajad $\frac BA,\frac CA$ ei ole enam sõltumatud ega ühtlase jaotusega lõigus $[-N,N]$. Populaarselt võiks öelda, et tingimuste $B^2\geq 4C$ ja $B^2\geq 4AC$ võrdlemisel on teises tingimuses võrratuse paremal pool "`juhuslikkust rohkem"', mis saab ka tingida seda, et tegu on erinevate ülesannetega ning saadakse erinevad vastused.

Allpool on võrdlusena toodud (a)-osa pindala (hall ala) ning (b)-osa pind $B^2=4AC$ (tasemejooned $B$ väärtuste fikseerimisel on hüperboolid $AC=\frac{B^2}{4}$).

\includegraphics{paraboolid_1.pdf}\quad \includegraphics{paraboolid_2.pdf}

\includegraphics{paraboolid_3.pdf}

\item Lõigul $[1,25]$ on üheksa algarvu: $(p_k)_{k=1}^9=(2,3,5,7,11,13,17,19,23)$. Vastavalt aritmeetika põhiteoreemile vastab igale täisarvule $a\in[1,25]$ üheselt määratud astendajate korteež $v(a)=(v_j(a))_{j=1}^9$ nii, et $a=\prod_{j=1}^9 p_j^{v_j(a)}$.

Antud $10$ arvu tekitavad $10$ sellist korteeži $v(a_k)$, $k=1,\ldots,10$. Vaadeldes neid korteeže vektorruumi $\mathbb{Q}^9$ (üle $\mathbb{Q}$) elementidena, on tegemist $10$-elemendilise vektorsüsteemiga $9$-mõõtmelises ruumis. Järelikult on vektorsüsteem $v(a_1),\ldots,v(a_{10})$ lineaarselt sõltuv, mistõttu leiduvad ratsionaalarvulised kordajad $n_1,\ldots,n_{10}$, mis pole kõik korraga nullid, nii, et 
\[
\sum_{k=1}^{10} n_k v_j(a_k)=0,\qquad j=1,\ldots,9.
\]
Olles korrutanud kõiki võrdusi läbi ratsionaalarvude $n_1,\ldots,n_{10}$ ühise nimetajaga, võime eeldada, et kordajad $n_i$ on täisarvud. Niisiis
\[
\prod_{k=1}^{10} a_k^{n_k} = \prod_{j=1}^9 p_j^{\sum_{k=1}^{10} n_k v_j(a_k)}=1,
\]
nagu soovitud.

\item Kuna maatriksi $AB\in\Mat_3(\mathbb{C})$ astak on $3$, siis on ka tegurite $A$ ja $B$ astakud $3$, mistõttu $BA\in\Mat_5(\mathbb{C})$ astak on $3$. Vastavalt teoreemile tuumast ja kujutisest (tuuma ja kujutisruumi mõõtmete summa on lähteruumi mõõde) on $\dim\ker BA=2$. Olgu $v_1,v_2$ ruumi $\ker BA$ baas, see tähendab, $\spanx\{v_1,v_2\}$ on kõigi selliste vektorite $x\in \mathbb{C}^5$ hulk, et $BAx=0$.

Olgu $e_1,e_2,e_3$ vektorruumi $\mathbb{C}^3$ standardne baas, st. $e_1=(1,0,0)^T$, $e_2=(0,1,0)^T$, $e_3=(0,0,1)^T$. Saame, et
\[
ABe_1=e_1,\qquad AB e_2=e_1+e_2,\qquad ABe_3=-e_3,
\]
järelikult 
\[
BABe_1=B e_1,\qquad BAB e_2 = Be_1+Be_2,\qquad BABe_3=-Be_3.
\]

Näitame, et $v_1,v_2,Be_1,Be_2,Be_3$ on lineaarselt sõltumatu süsteem vektorruumis $\mathbb{C}^5$ (seega $\mathbb{C}^5$ baas). Kehtigu $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3 Be_1+\lambda_4 Be_2+\lambda_5 Be_3=0$, siis $BA$ rakendamisel saame, et $\lambda_3 BABe_1+\lambda_4 BABe_2+\lambda_5 BABe_3=0$. 
Vektorsüsteem $Be_1,Be_2,Be_3\in\mathbb{C}^5$ on ühtlasi maatriksi $B$ veeruvektorite süsteem, järelikult on selle süsteemi astak $3$. Niisiis on $Be_1,Be_2,Be_3$ lineaarselt sõltumatu süsteem.
Järelikult on ka $BABe_1,BABe_2,BABe_3$ lineaarselt sõltumatu süsteem, mistõttu $\lambda_3=\lambda_4=\lambda_5=0$. Et $v_1,v_2$ on lineaarselt sõltumatu, siis võrdus $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2=0$ annab nüüd ka, et $\lambda_1=\lambda_2=0$.

Lineaarteisenduse $BA$ maatriks baasi $v_1,v_2,Be_1,Be_2,Be_3$ suhtes on
\[
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 &0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
\]
Saadud maatriks ongi maatriksi $BA$ Jordani normaalkuju.

\item Fikseerime suvaliselt $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ ning vaatleme punktide $(x,y)$ ja $(x+y,0)$ vahelist sirglõiku. Ühe muutuja funktsioon 
\[
g(t):=f((1-t)(x,y)+t(x+y,0))=f((1-t)x+t(x+y), (1-t)y)
\]
on selle tõttu, et $f\in C^1$, lõigus $[0,1]$ pidev ja vahemikus $(0,1)$ diferentseeruv. Seega ta rahuldab lõigus $[0,1]$ Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldusi, mistõttu mingi $\tau\in(0,1)$ korral
\[
g(1)-g(0)=g'(\tau).
\]
Arvutame selle võrduse komponendid välja. Saame, et
\begin{align*}
g(0)&=f(x,y),\\
g(1)&=f(x+y,0),\\
g'(\tau)&=f_x((1-\tau)(x,y)+\tau(x+y,0))\cdot (-x+x+y)+{}\\
&\qquad{}+f_y((1-\tau)(x,y)+\tau(x+y,0))\cdot(-y)=\\
&=f_x((1-\tau)(x,y)+\tau(x+y,0))\cdot y-f_x((1-\tau)(x,y)+\tau(x+y,0))\cdot y=\\
&=0.
\end{align*}
Järelikult
\[
f(x,y)=f(x+y,0)>0.
\]

\emph{Märkus.} Mitme muutuja analüüsi kursuses sõnastatakse sageli $C^1$-funktsioonide jaoks järgmine Lagrange'i keskväärtusteoreemi variant: iga kahe punkti $\mathbf{X}$ ja $\mathbf{Y}$ korral leidub neid ühendaval sirglõigul $[\mathbf{X},\mathbf{Y}]$ selline punkt $\Xi$, et
\[
f(\mathbf{Y})-f(\mathbf{X})=\nabla f(\Xi)\cdot(\mathbf{Y}-\mathbf{X}),\]
kusjuures $\nabla f:=(f_x,f_y)$ (funktsiooni $f$ gradient) ning $\cdot$ tähistab vektorite skalaarkorrutamist. Tulemuse tõestus sisuliselt kopeerib ülal läbiviidud arutelu ühemuutuja funktsiooniga $g$.


\newcommand{\bfx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\bfn}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bfv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bfw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bfu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bfy}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bfe}{\mathbf{e}}

\item Ilmselt $\varphi\equiv \bfn$ on üks lahend. Eeldame järgnevas, et $\varphi\ne\bfn$.

\begin{itemize}
\item Saame, et iga $\bfx\in \mathbb{R}^3$ korral $\varphi(\bfn)=\varphi(\bfn\times \bfx)=\varphi(\bfn)\times \varphi(\bfx)$, millest järeldub, et $\varphi(\bfn)\perp \varphi(\bfn)$, niisiis $\varphi(\bfn)=\bfn$.

\item Oletame, et $\varphi(\bfv)=\bfn$ mingi $\bfv\ne\bfn$ korral. Siis ortogonaalse täiendi $\langle \bfv\rangle^\perp$ iga vektor $\bfu$ on esitatav kujul $\bfu=\bfw\times \bfv$, kus $\bfw\in\mathbb{R}^3$. (Näiteks täiendame $\bfu,\bfv$ ruumi $\mathbb{R}^3$ kogu ruumi ortogonaalbaasiks ja skaleerime $\bfw$ pikkuse ja suuna õigeks.) Järelikult $\varphi(\bfu)=\varphi(\bfw)\times \varphi(\bfv)=\bfn$, teisiti öeldes, $\varphi|_{\langle \bfv\rangle^\perp}=\bfn$.

Kui nüüd $\bfx\in\mathbb{R}^3\setminus\{\bfn\}$ on valitud suvaliselt, siis esitame $\bfx = \bfu\times \bfy$, kus $\bfu\in \langle \bfv\rangle^\perp$ ja $\bfy\in\mathbb{R}^3$. (Valime näiteks $\bfu=\bfx\times \bfv$, siis $\bfu\perp \bfx$ ja $\bfu\perp\bfv$, täiendame süsteemi $\bfx,\bfu$ kogu ruumi ortogonaalbaasiks ja skaleerime-suuname kolmanda vektori $\bfy$ õigeks.) Nüüd aga $\varphi(\bfx)=\bfn$, mis on vastuolus sellega, et $\varphi\ne\bfn$.

Oleme saanud, et kui $\bfv\ne\bfn$, siis $\varphi(\bfv)\ne\bfn$.

\item 
Paneme tähele, et $\bfu\parallel \bfv$ parajasti siis, kui $\varphi(\bfu)\parallel \varphi(\bfv)$. Tõepoolest, tingimus $\bfu\parallel \bfv$ tähendab seda, et nende vaheline nurk on $0$ või $\pi$ või on emb-kumb vektoritest nullvektor, misjuhul on nurk määramata. See omakorda tähendab, et $|\bfu\times\bfv|=0$ ehk $\bfu\times \bfv=\bfn$, mis omakorda ütleb, et $\varphi(\bfu)\times \varphi(\bfv)=\varphi(\bfn)=\bfn$, järelikult $\varphi(\bfu)\parallel \varphi(\bfv)$.

\item Edasi, kehtigu $\bfu\perp\bfv$ (kus $\bfv\ne\bfn$), siis tähistame $\bfw$ nii, et $\bfu=\bfv\times\bfw$, nüüd $\varphi(\bfu)=\varphi(\bfv)\times \varphi(\bfw)$, järelikult $\varphi(\bfu)\perp \varphi(\bfv)$. Seega $|\varphi(\bfu\times \bfv)|=|\varphi(\bfu)\times \varphi(\bfv)|=|\varphi(\bfu)|\cdot|\varphi(\bfv)|$. (Võrdus kehtib ka juhul $\bfv=\bfn$.)

\item Ülaltoodud omadused võimaldavad saada, et standardne ühikristbaas viiakse standardseks ühikristbaasiks. Tõepoolest, olgu $\bfe_1,\bfe_2,\bfe_3$ ristuvate ühikvektorite parema käe kolmik. Siis ka $\varphi(\bfe_1),\varphi(\bfe_2),\varphi(\bfe_3)$ on ristuvad vektorid, kusjuures $|\varphi(\bfe_2)|=|\varphi(\bfe_1)|\cdot |\varphi(\bfe_3)|=|\varphi(\bfe_1)|^2|\varphi(\bfe_2)|$, mistõttu $|\varphi(\bfe_1)|=1$, analoogselt on ka teised vektorid $\varphi(\bfe_2),\varphi(\bfe_3)$ ühikvektorid. Ka käelisus säilib, sest $\varphi(\bfe_3)=\varphi(\bfe_1)\times \varphi(\bfe_2)$.

Niisiis, võime eeldada, et $\varphi'(\bfe_i)=\bfe_i$, $i=1,2,3$, kus $\varphi=U\varphi'$ ja $U\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ on ruumi mingi pööre (lineaarteisendus, mille maatriks ortonormeeritud baasil on ortogonaalmaatriks).

\item On jäänud välja selgitada, kuidas baasivektoreid säilitav $\varphi'$ käitub kogu ruumi vektoritega. Vaatleme projektorit $\bfe_2\bfe_3$-tasandile; $P_{23}(x,y,z)=(0,y,z)$, kus $P_{23}(\bfu)=(\bfe_1\times \bfu)\times \bfe_1$. Paneme tähele, et $\varphi'$ kommuteerub projektoriga $P_{23}$. Tõepoolest,
\[
(\varphi'\circ P_{23})(\bfv)=\varphi'((\bfe_1\times \bfv)\times \bfe_1)=(\bfe_1\times \varphi'(\bfv))\times \bfe_1=P_{23}(\varphi'(\bfv))=(P_{23}\circ \varphi')(\bfv).
\]
Analoogselt saab näidata, et $\varphi'$ kommuteerub ka projektoritega $\bfe_1\bfe_2$-tasandile ja $\bfe_3\bfe_1$-tasandile, järelikult ka projektoritega telgedele $P_1=P_{12}P_{13}$, $P_2=P_{12}P_{23}$ ja $P_3=P_{13}P_{23}$. Niisiis, kui $\bfv=(x,y,z)=x\bfe_1+y\bfe_2+z\bfe_3$, siis
\begin{align*}
\varphi'(\bfv)&=P_1\varphi'(\bfv)+P_2\varphi'(\bfv)+P_3\varphi'(\bfv))=\varphi'P_1(\bfv)+\varphi'P_2(\bfv)+\varphi'P_3(\bfv))=\\
&=\varphi'(x,0,0)+\varphi'(0,y,0)+\varphi'(0,0,z)=(f_1(x),f_2(y),f_3(z)),
\end{align*}
kus $f_1,f_2,f_3\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ on teatavad ühemuutuja funktsioonid:
\begin{align*}
    f_1(x)&= \varphi'(x,0,0)\cdot \bfe_1,\\
    f_2(y)&= \varphi'(0,y,0)\cdot \bfe_2,\\
    f_3(z)&= \varphi'(0,0,z)\cdot \bfe_3,
\end{align*}
seoses sellega, et 
\[
\varphi'(x,0,0)=\varphi'P_1(x,0,0)=P_1\varphi'(x,0,0)=(\varphi'(x,0,0)\cdot \bfe_1) \bfe_1,
\]
analoogselt ka teiste koordinaatidega.

\item Arutelu lõpetuseks tuleb niisiis välja selgitada $f_1,f_2,f_3$ käitumine. 

\item Osutub, et funktsioon $\varphi$ on paaritu. Olgu $\bfu\in\mathbb{R}^3\setminus\{\bfn\}$ suvaline, teadaolevalt leiduvad $\bfv,\bfw\in\mathbb{R}^3$ nii, et $\bfu=\bfv\times \bfw$. (Sellised vektorid saab valida nii, et võtta kahemõõtmelise ruumi $\langle \bfu\rangle^\perp$ ristbaas ning normeerida ja varustada õige märgiga saadud vektoreid selliselt, et pikkus ja käelisus tuleks õige.)
Nüüd
\[
\varphi(-\bfu)=\varphi(\bfw\times\bfv)=\varphi(\bfw)\times \varphi(\bfv)=-\varphi(\bfv)\times \varphi(\bfw)=-\varphi(\bfv\times \bfw)=-\varphi(\bfu).
\]

\item Osutub, et $f_1=f_2=f_3$. Nimelt, iga $t\in\mathbb{R}$ korral
\[
f_1(t)\cdot \bfe_1=\varphi'(t\bfe_1)=\varphi'(t\bfe_2\times \bfe_3)=\varphi(t\bfe_2)\times \bfe_3=(f_2(t)\cdot \bfe_2)\times \bfe_3=f_2(t)\cdot \bfe_1,
\]
analoogselt ka $f_2=f_3$.

Niisiis
\[
\varphi'(x,y,z)=(f(x),f(y),f(z)),
\]
kus $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ on mingi paaritu funktsioon, mis viib nulliks ainult nulli.

\item Kuna 
\[
f(st)\cdot e_3=\varphi((st)\bfe_3)=\varphi(s\bfe_1\times t \bfe_2)=f(s)\bfe_1\times f(t)\bfe_2=f(s)f(t)\cdot\bfe_3,
\]
siis $f$ on multiplikatiivne. Muuhulgas iga $s>0$ korral $f(s)=f((\sqrt{s})^2)=(f(\sqrt{s}))^2>0$ ning $f(1)=1$.

\item Kuna
\[
(s,t,-(s+t))\perp(1,1,1),
\]
siis
\[
(f(s),f(t),-f(s+t))\perp(f(1),f(1),f(1))=(1,1,1),
\]
järelikult
\[
f(s)+f(t)=f(s+t),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
\]
Seega $f$ on aditiivne. Cauchy meetodil saab siit vahetult järeldada, et $f(q)=q$ iga $q\in\mathbb{Q}$ korral. Tõepoolest, kui $n\in\mathbb{N}$, siis $f(n)=nf(1)=n$, seega $1=f(1)=f(n\cdot\tfrac1n)=n f(\tfrac1n)$, mistõttu $f(\tfrac1n)=\tfrac1n$, ja nüüd $m\in\mathbb{N}$ korral $f(\tfrac mn)=mf(\tfrac1n)=\tfrac mn$. Negatiivse $m$ juhtumil tuleb kasutada ka seda, et $f$ on paaritu.

\item Lisatingimus, et $x>0\Rightarrow f(x)>0$, aitab näha, et $f(x)=x$ iga $x\in\mathbb{R}$ korral. Tõepoolest, kui $x_n<x<y_n$ on arvu $x$ puuduga ja liiaga lähendavad ratsionaalarvude jadad, $x_n\to x$, $y_n\to x$, siis
\[
0<f(x-x_n)=f(x)+f((-1)x_n)=f(x)+f(-1)f(x_n)=f(x)-x_n,
\]
mistõttu $x_n<f(x)$, analoogselt $f(x)<y_n$. Keskmise muutuja omadus annab nüüd, et kuna $x_n\to x$ ja $y_n\to x$, siis ka $f(x)\to x$, mistõttu $f(x)=x$.

Niisiis $\varphi'(\bfu)=\bfu$ iga $\bfu\in\mathbb{R}^3$ korral.

\item Kokkuvõttes oleme saanud, et $\varphi(\bfu)=U\varphi'(\bfu)=U\bfu$, kus $U$ on ortogonaalteisendus.
\end{itemize}

On jäänud veel kontrollida, et $\varphi(\bfu)=U\bfu$, kus $U$ on mingi ortogonaalteisendus, sobib ülesande lahendiks, see tähendab, rahuldab seost $\varphi(\bfu\times \bfv)=\varphi(\bfu)\times \varphi(\bfv)$. (Nullteisenduse korral on selline seos ilmselt rahuldatud.)

Kõigepealt saame, et 
\begin{align*}
\varphi(\bfu\times \bfv)\cdot \varphi(\bfu)=U(\bfu\times \bfv)\cdot U\bfu=(\bfu\times \bfv)\cdot \bfu=0,\\
\varphi(\bfu\times \bfv)\cdot \varphi(\bfv)=U(\bfu\times \bfv)\cdot U\bfv=(\bfu\times \bfv)\cdot \bfv=0.
\end{align*}
Järelikult $\varphi(\bfu\times \bfv)\parallel\varphi(\bfu)\times \varphi(\bfv)$.

Olgu nüüd $\bfe_1,\bfe_2,\bfe_3$ ruumi $\mathbb{R}^3$ ühikristbaas. Kuna samal ajal $\varphi(\bfe_1)=\varphi(\bfe_2\times\bfe_3)$ on paralleelne vektoriga $\varphi(\bfe_2)\times \varphi(\bfe_3)$ ning $\varphi(\bfe_1)\cdot(\varphi(\bfe_2)\times \varphi(\bfe_3))=\det U=1$, siis $\varphi(\bfe_2)\times \varphi(\bfe_3)=t\varphi(\bfe_1)$ ning samas $1=t\varphi(\bfe_1)\cdot\varphi(\bfe_1)=t (U \bfe_1\cdot U\bfe_1)=t$, mistõttu $\varphi(\bfe_2)\times \varphi(\bfe_3)=\varphi(\bfe_2\times\bfe_3)$. Analoogselt ka $\varphi(\bfe_3)\times\varphi(\bfe_1)=\varphi(\bfe_3\times\bfe_1)$ ning $\varphi(\bfe_1)\times\varphi(\bfe_2)=\varphi(\bfe_1\times \bfe_2)$. Et saada samasugune tulemus nüüd suvaliste kahe vektori korral, kasutame vektorkorrutise distributiivsust ja $\varphi$ lineaarsust.

\emph{Märkus.} Funktsiooni $\varphi$ mitmesuguseid omadusi (aditiivsus, homogeensus jms.) võib saada ka mitmesuguste muude arutluskäikude tulemusel.

\end{enumerate}


\end{document}


---- paraboolid.mp ----
verbatimtex
\documentclass[12pt]{article}
\begin{document}
etex
 def genereeri(expr w, h, base) = 
 begingroup 
 write "\documentclass{article}" to base&".tex"; 
 write "\usepackage{geometry}" to base&".tex"; 
 write "\usepackage[pdftex]{graphicx}" to base&".tex"; 
 write "\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}" to base&".tex"; 
 write "\geometry{papersize={"& decimal(ceiling(w)) & "bp," &% 
 decimal(ceiling(h)) & "bp}}" to base&".tex"; 
 write "\geometry{margin={0bp,0bp}}" to base&".tex"; 
 write "\geometry{noheadfoot,nomarginpar}" to base&".tex"; 
 write "\begin{document}" to base&".tex"; 
 write "\thispagestyle{empty}" to base&".tex"; 
 write "\noindent\includegraphics{" & jobname & "." &% 
 decimal(charcode) & "}" to base&".tex"; 
 write "\end{document}" to base&".tex"; 
 write EOF to base&".tex"; 
 endgroup 
 enddef;

beginfig(1);
 
	 numeric u, n, aken;
	 u:=1cm;
	 n := 3;
	 aken := 10;
	
	 
	 path kover;
	 algx := -2*(sqrt(aken));
loppx := 2*(sqrt(aken));
vardef f(expr x) = (1/4)*(x**2) enddef;
kover := (algx*(n/aken)*u, (f(algx))*(n/aken)*u)
for i = 1 upto 50:
  ..((algx+(loppx-algx)*i/50)*(n/aken)*u, (f((algx+(loppx-algx)*i/50)))*(n/aken)*u)
endfor;
	 fill (-n*u,-n*u)--(n*u,-n*u)--(n*u,n*u)--(loppx*(n/aken)*u,n*u)--(reverse kover)--(algx*(n/aken)*u,n*u)--(-n*u,n*u)--cycle withcolor (0.8,0.8,0.8);
	drawarrow (-(n+0.5)*u,0)--((n+0.5)*u,0);
	drawarrow (0,-(n+0.5)*u)--(0,(n+0.5)*u);
     draw kover withcolor black;
	 draw (-n*u,-n*u)--(n*u,-n*u)--(n*u,n*u)--(-n*u,n*u)--cycle dashed evenly;
	 label.ulft(btex $10$ etex, (n*u,0));
	 label.top(btex $B$ etex, ((n+0.5)*u,0));
	 label.lrt(btex $10$ etex, (0,n*u));
	 label.rt(btex $C$ etex, (0,(n+0.5)*u));
	 
	 numeric w,h; 
	 w := xpart urcorner bbox currentpicture -% 
	 xpart llcorner bbox currentpicture; 
	 h := ypart urcorner bbox currentpicture -% 
	 ypart llcorner bbox currentpicture; 
	 string base; 
	 base:=jobname&"_"&decimal(charcode); 
	 genereeri(w, h, base);
endfig;

beginfig(2);
 
	 numeric u, n, aken;
	 u:=1cm;
	 n := 3;
	 aken := 1000;
	
	 
	 path kover;
	 algx := -2*(sqrt(aken));
loppx := 2*(sqrt(aken));
vardef f(expr x) = (1/4)*(x**2) enddef;
kover := (algx*(n/aken)*u, (f(algx))*(n/aken)*u)
for i = 1 upto 50:
  ..((algx+(loppx-algx)*i/50)*(n/aken)*u, (f((algx+(loppx-algx)*i/50)))*(n/aken)*u)
endfor;
	 fill (-n*u,-n*u)--(n*u,-n*u)--(n*u,n*u)--(loppx*(n/aken)*u,n*u)--(reverse kover)--(algx*(n/aken)*u,n*u)--(-n*u,n*u)--cycle withcolor (0.8,0.8,0.8);
	drawarrow (-(n+0.5)*u,0)--((n+0.5)*u,0);
	drawarrow (0,-(n+0.5)*u)--(0,(n+0.5)*u);
     draw kover withcolor black;
	 draw (-n*u,-n*u)--(n*u,-n*u)--(n*u,n*u)--(-n*u,n*u)--cycle dashed evenly;
	 label.ulft(btex $1000$ etex, (n*u,0));
	 label.top(btex $B$ etex, ((n+0.5)*u,0));
	 label.lrt(btex $1000$ etex, (0,n*u));
	 label.rt(btex $C$ etex, (0,(n+0.5)*u));
	 
	 numeric w,h; 
	 w := xpart urcorner bbox currentpicture -% 
	 xpart llcorner bbox currentpicture; 
	 h := ypart urcorner bbox currentpicture -% 
	 ypart llcorner bbox currentpicture; 
	 string base; 
	 base:=jobname&"_"&decimal(charcode); 
	 genereeri(w, h, base);
endfig;

beginfig(3);
 
u := 1cm;
pair OO, OXr, OYr, OZr;
OO := (0,0);
OXr := ((1,0) rotated (-5))*u;
OYr := 0.8*(0,1)*u;
OZr := 0.5*((1,0) rotated (50))*u;
vardef project(expr x,y,z) = x*OXr + y*OYr + z*OZr enddef;
vardef proj(expr k) = (redpart k)*OXr+(greenpart k)*OYr+(bluepart k)*OZr enddef;

	 numeric u, n, aken;
	 u:=1cm;
	 n := 3;
	 aken := 10;
	
	draw project(-n,-n,-n)--project(n,-n,-n)--project(n,n,-n)--project(-n,n,-n)--cycle dashed evenly;
	draw project(-n,-n,n)--project(n,-n,n)--project(n,n,n)--project(-n,n,n)--cycle dashed evenly;
	draw project(-n,-n,-n)--project(-n,-n,n) dashed evenly;
	draw project(n,-n,-n)--project(n,-n,n) dashed evenly;
	draw project(n,n,-n)--project(n,n,n) dashed evenly;
	draw project(-n,n,-n)--project(-n,n,n) dashed evenly;
	drawarrow project(-(n+0.5),0,0)--project((n+0.5),0,0);
	drawarrow project(0,-(n+0.5),0)--project(0,(n+0.5),0);
	drawarrow project(0,0,-(n+0.5))--project(0,0,(n+0.5));
	 
	 path kover;
	 for tase := -aken step 2 until aken:
	 if (tase <> 0):
	   % võrrand on C = (tase**2/4)/A
	   % seega A väärtused on -aken kuni -tase**2/(4*aken)
	   % ning tase**2/(4*aken) kuni aken
	 algx := -aken;
loppx := -(tase/4)*(1/aken)*tase;
vardef f(expr x) = (tase*tase/4)/x enddef;
kover := project(algx*(n/aken), tase*(n/aken), (f(algx))*(n/aken))
for i = 1 upto 500:
  ..project((algx+(loppx-algx)*i/500)*(n/aken), tase*(n/aken), (f((algx+(loppx-algx)*i/500)))*(n/aken))
endfor;
draw kover;
	 algx := (tase/4)*(1/aken)*tase;
loppx := aken;
vardef f(expr x) = (tase/4)*(1/x)*tase enddef;
kover := project(algx*(n/aken), tase*(n/aken), (f(algx))*(n/aken))
for i = 1 upto 500:
  ..project((algx+(loppx-algx)*i/500)*(n/aken), tase*(n/aken), (f((algx+(loppx-algx)*i/500)))*(n/aken))
endfor;
draw kover;

fi;
endfor;
% nüüd olgu A=-aken, võrrand on C=-B**2/(4*aken)
	 algx := -aken;
loppx := aken;
vardef f(expr x) = -(x**2)/(4*aken) enddef;
kover := project(-aken*(n/aken), algx*(n/aken), (f(algx))*(n/aken))
for i = 1 upto 50:
  ..project(-aken*(n/aken), (algx+(loppx-algx)*i/50)*(n/aken), (f((algx+(loppx-algx)*i/50)))*(n/aken))
endfor;
draw kover;
% nüüd olgu C=-aken, võrrand on A=-B**2/(4*aken)
	 algx := -aken;
loppx := aken;
vardef f(expr x) = -(x**2)/(4*aken) enddef;
kover := project((f(algx))*(n/aken), algx*(n/aken), -aken*(n/aken))
for i = 1 upto 50:
  ..project((f((algx+(loppx-algx)*(i/50))))*(n/aken), (algx+(loppx-algx)*(i/50))*(n/aken), -aken*(n/aken))
endfor;
draw kover;
% nüüd olgu A=aken, võrrand on C=B**2/(4*aken)
	 algx := -aken;
loppx := aken;
vardef f(expr x) = (x**2)/(4*aken) enddef;
kover := project(aken*(n/aken), algx*(n/aken), (f(algx))*(n/aken))
for i = 1 upto 50:
  ..project(aken*(n/aken), (algx+(loppx-algx)*i/50)*(n/aken), (f((algx+(loppx-algx)*i/50)))*(n/aken))
endfor;
draw kover;
% nüüd olgu C=aken, võrrand on A=-B**2/(4*aken)
	 algx := -aken;
loppx := aken;
vardef f(expr x) = (x**2)/(4*aken) enddef;
kover := project((f(algx))*(n/aken), algx*(n/aken), aken*(n/aken))
for i = 1 upto 50:
  ..project((f((algx+(loppx-algx)*(i/50))))*(n/aken), (algx+(loppx-algx)*(i/50))*(n/aken), aken*(n/aken))
endfor;
draw kover;



	 label.top(btex $A$ etex, project((n+0.5),0,0));
	 label.rt(btex $B$ etex, project(0,(n+0.5),0));
	 label.top(btex $C$ etex, project(0,0,(n+0.5)));
	 
	 numeric w,h; 
	 w := xpart urcorner bbox currentpicture -% 
	 xpart llcorner bbox currentpicture; 
	 h := ypart urcorner bbox currentpicture -% 
	 ypart llcorner bbox currentpicture; 
	 string base; 
	 base:=jobname&"_"&decimal(charcode); 
	 genereeri(w, h, base);
endfig;


end
----------