\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{comment}
\usepackage[english,estonian]{babel}
\usepackage{titling}
\DeclareMathOperator{\Realpart}{Re}
\DeclareMathOperator{\res}{res}

\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\e}{\varepsilon}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\rea}{\operatorname{Re}}
\everymath{\displaystyle}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

\begin{document}
\title{Matemaatika treeningvõistlus}
\date{Tartu, 11.03.2022}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\begin{enumerate}
\item Olgu antud $n+1$ erinevat positiivset täisarvu $a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}$, millest ükski ei ületa arvu $2n$. Tõestage, et arvude $a_1,\ldots,a_{n+1}$ seas leiduvad kaks arvu nii, et üks neist jagub teisega.

\item Vaatleme väiteid:\\[1ex]
(A$_1$)\qquad $\lim_n n(a_{n+1}-a_n)=:a\in\mathbb{R}$,\\
(A$_2$)\qquad $\lim_n \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}=:b\in\mathbb{R}$,\\
(A$_3$)\qquad $\lim_n a_n\in\mathbb{R}$.

Millised alljärgnevatest implikatsioonidest on tõesed suvalise arvjada $(a_n)_{n=1}^\infty$ korral?
\begin{enumerate}
\item (A$_1$)~$\Rightarrow$~(A$_3$),
\item (A$_2$)~$\Rightarrow$~(A$_3$),
\item (A$_1$)$\land$(A$_2$)~$\Rightarrow$~(A$_3$).
\end{enumerate}

\item Vaatleme polünoomi $p=X^{47}-X^{23}+2X^{11}-X^5+4X^2+1$. Tõestage, et polünoomil $p\in\mathbb{C}[X]$ on vähemalt üks juur lahtises ühikringis, see tähendab, juur $z\in\mathbb{C}$ selline, et $|z|<1$.

\item Olgu $A$ sümmeetriline $n\times n$ reaalarvmaatriks, kusjuures kehtigu
\[
A^5+A^3+A=3E,
\]
kus $E$ on $n$-järku ühikmaatriks.

Tõestage, et $A=E$.

\item Leidke integraal
\[
\int_0^\pi \frac{\cos 4t}{1+(\cos t)^2}\,\mathrm{d}t.
\]

\end{enumerate}

\newpage
\selectlanguage{english}
\title{Math Competition}
\date{Tartu, 11.03.2022}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\begin{enumerate}
\item Let us have $n+1$ different positive integers $a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}$, none of which exceeds $2n$. Prove that there are two integers among $a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}$ such that one of them divides the other.

\item Consider the following propositions:\\[1ex]
(A$_1$)\qquad $\lim_n n(a_{n+1}-a_n)=:a\in\mathbb{R}$,\\
(A$_2$)\qquad $\lim_n \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}=:b\in\mathbb{R}$,\\
(A$_3$)\qquad $\lim_n a_n\in\mathbb{R}$.

Which of the following implications hold for any sequence $(a_n)_{n=1}^\infty$?
\begin{enumerate}
\item (A$_1$)~$\Rightarrow$~(A$_3$),
\item (A$_2$)~$\Rightarrow$~(A$_3$),
\item (A$_1$)$\land$(A$_2$)~$\Rightarrow$~(A$_3$).
\end{enumerate}

\item Consider the polynomial $p=X^{47}-X^{23}+2X^{11}-X^5+4X^2+1$. Prove that the polynomial  $p\in\mathbb{C}[X]$ has at least one root in the open unit disc, i.e., a root $z\in\mathbb{C}$ such that $|z|<1$.

\item Let $A$ be a symmetric real $n\times n$ matrix such that
\[
A^5+A^3+A=3E,
\]
where $E$ is $n$-th order identity matrix.

Prove that $A=E$.

\item Find the value of the following integral:
\[
\int_0^\pi \frac{\cos 4t}{1+(\cos t)^2}\,\mathrm{d}t.
\]

\end{enumerate}

\newpage

\selectlanguage{estonian}
\section*{Lahendused}
\begin{enumerate}
\item Esitame kõik arvud kujul $a_k=2^{s_k}b_k$, kus arvud $b_1,\ldots,b_{n+1}$ on paaritud. Hulk $\{b_1,\ldots,b_{n+1}\}$ on alamhulk hulgas $\{1,3,5,\ldots,2n-1\}$, kus on $n$ elementi. Dirichlet' printsiibi kohaselt on mingid kaks arvu $a_i$ ja $a_j$ sellised, et $b_i=b_j$. Nüüd üks (suurem) arvudest $a_i$ ja $a_j$ jagub teisega, sest nad erinevad ainult teguri $2$ astme poolest.

\item (a) Implikatsioon üldiselt ei kehti. Kontranäiteks sobib $a_n=1+\frac12+\ldots+\frac1n$. Nüüd $n\cdot(a_{n+1}-a_n)=n\cdot \frac1{n+1}\to1$, aga jada $(a_n)$ on harmoonilise rea osasummade jada, mis on hajuv.

(b) Implikatsioon üldiselt ei kehti. Kontranäiteks sobib jada $a_n=(-1)^n$. Nüüd aritmeetiliste keskmiste jada on $-1, 0, -\frac13, 0, -\frac15, \ldots$, seega jääb kahe hääbuva jada liikme ($-\frac1n$ ja $0$) vahele. Keskmise muutuja omaduse tõttu $\lim_n\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}=0$. Ent jada $((-1)^n)$ on hajuv, kuna tema ülemine ja alumine piirväärtus on erinevad ($-1$ ja $1$).

(c) Implikatsioon kehtib. Nimelt, tähistame $b_n=n(a_{n+1}-a_n)$.
Vastavalt Cauchy piirväärtusteoreemile koondub jada $(b_n)$ aritmeetiliste keskmiste jada samaks piirväärtuseks $a$. Niisiis
\[\frac{b_1+\ldots+b_n}{n}=\frac{a_2-a_1+2(a_3-a_2)+\ldots+n(a_{n+1}-a_n)}{n}\to a.
\]
Ent sellise jada liige on
\begin{align*}
\frac{a_2-a_1+2(a_3-a_2)+3(a_4-a_3)+\ldots+n(a_{n+1}-a_n)}{n}&=\frac{-a_1-a_2-a_3-\ldots-a_n+na_{n+1}}{n}=\\
&=-\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}+a_{n+1}.
\end{align*}
Oleme saanud, et 
\[
-\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}+a_{n+1}\to a,
\]
millest eelduse (A$_2$) tõttu $a_{n+1}\to a+b$.


\item \emph{Lahendus 1.}
Polünoom $p$ on taandatud, seega vastavalt Vi\`{e}te'i valemitele tema kõigi (sh. komplekssete) juurte korrutis on $1$ (sest vabaliige on $1$).

Oletame väitevastaselt, et polünoomil $p$ pole ühtki kompleksset juurt $z$, mis rahuldaks tingimust $|z|<1$. Et juurte korrutis on $1$, ei tohi nüüd ühegi juure moodul olla ka $1$-st suurem. Seega kõik juured on mooduliga $1$ ehk asuvad komplekstasandi ühikringjoonel.

See on aga juba võimatu. Nimelt, polünoom $p$ on paarituastmeline reaalsete kordajatega polünoom. Sellisel polünoomil on kindlasti vähemalt üks reaalarvuline juur, kuna polünoomfunktsioon $\mathbb{R}\ni x\mapsto p(x)\in\mathbb{R}$ omandab piiril $-\infty$ ja $\infty$ eripidi märkidega lõpmatu piirväärtuse. Et $x\mapsto p(x)$ on ka pidev funktsioon, on siin võimalik Bolzano--Cauchy teoreemi nullkohast rakendades leida, et funktsioonil $x\mapsto p(x)$ leidub vähemalt üks nullkoht.

Ent $1$ ja $-1$ ei ole kumbki polünoomi $p$ juurteks, kuna $p(1)=6$ ja $p(-1)=4$. Seega on polünoomil $p$ mingi muu (reaalarvuline) juur, mis siiski ei asu ühikringjoonel. Saadud vastuolu näitab, et polünoomil $p$ on siiski juur $z\in\mathbb{C}$ nii, et $|z|<1$.

\emph{Lahendus 2.} Vaatleme ringjoont $|z|=\frac34$.
Saame, et kui $|z|=\frac34$, siis
\begin{align*}
|z^{47}-z^{23}+2z^{11}-z^5+1|&\leqslant |z|^{47}+|z|^{23}+2|z|^{11}+|z|^{5}+1 < 4|z|^6+|z|^5+1=\\
&=\frac{3^6}{4^5}+\frac{3^5}{4^5}+1=\frac{3^5}{4^4}+1=\frac{243}{256}+1<\\ &<2.
\end{align*}
Samas
\[
|4z^2|=\frac94>2.
\]
Kuna polünoomil $4X^2$ on täpselt kaks juurt, mis asuvad ringis $|z|<\frac34$, on Rouch\'{e} teoreemi kohaselt ka polünoomil $p$ täpselt kaks juurt, mis asuvad selles ringis.

\item Vaatleme polünoomi
\[
p=X^5+X^3+X-3.
\]
Kuna $p(A)=\Theta$ (nullmaatriks), siis maatriksi $A$ minimaalne polünoom $q$ on polünoomi $p$ tegur. Tõepoolest, $A$ minimaalne polünoom $q$ on minimaalse astmega polünoom nii, et maatriks $A$ on polünoomi $q$ juur. Teostades nüüd jäägiga jagamise $p=q\cdot q_1+r$, on kas $\deg r<\deg q$ või $r=0$. Samas saame, et $p(A)=q(A)\cdot q_1(A)+r(A)$, mistõttu ka $r(A)=\Theta$. Nüüd on ainus võimalus, et $r=0$, vastasel korral tuleks vastuolu polünoomi $q$ minimaalsusega.
Muuhulgas saame siit, et $q$ kõik juured (võib-olla kompleksarvulised) on ühtlasi $p$ juured.

Teiselt poolt, Cayley--Hamiltoni teoreemi kohaselt on $q$ ka maatriksi $A$ karakteristliku polünoomi tegur (teisiti öeldes, maatriks rahuldab oma karakteristlikku võrrandit). Niisiis polünoomi $q$ kõik (võib-olla kompleksarvulised) juured on ka maatriksi $A$ karakteristlikud juured.

Kuna $A$ on sümmeetriline maatriks, on tema kõik karakteristlikud juured reaalsed. Järelikult on ka kõik $q$ juured reaalsed. Järelikult $q$ kõik juured esinevad $p$ reaalsete juurte seas.

Uurime, millised on polünoomi $p$ reaalsed juured. Saame, et $p'=5X^4+3X^2+1$. Kuna funktsioon $p'\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ on positiivne kogu reaalteljel, on funktsioon $p\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ rangelt kasvav ja polünoomil $p$ on täpselt üks reaalne juur. Vahetu kontroll näitab, et $x=1$ on polünoomi $p$ juur. Ta on $p$ ühekordne juur, sest ta pole $p'$ juur.

Järelikult $q=X-1$ (ning $A$ karakteristlik polünoom on $X-1$ mingi aste).
Et $q(A)=\Theta$, siis $A-E=\Theta$ ehk $A=E$.

\item \emph{Lahendus 1.}
Kuna 
\[
\cos 4t=2(\cos 2t)^2-1=2(2(\cos t)^2-1)^2-1=8(\cos t)^4-8(\cos t)^2+1,
\]
siis integrand on $U=(\cos t)^2$ suhtes ratsionaalmurd
\[
\frac{8U^2-8U+1}{1+U}=8U-16+\frac{17}{1+U}.
\]

Integreerime iga liidetava eraldi, kõik on võrdlemisi standardsed integraalid.
Saame, et
\begin{align*}
\int_0^\pi 8(\cos t)^2\,\mathrm{d}t&=4\int_0^\pi(1+\cos 2t)\,\mathrm{d}t=4\pi,\\
\int_0^\pi(-16)\,\mathrm{d}t&=-16\pi.
\end{align*}
Kolmanda integraali
\[
\int_0^\pi\frac{17\,\mathrm{d}t}{1+(\cos t)^2}=
\int_0^\frac\pi2\frac{17\,\mathrm{d}t}{1+(\cos t)^2}+\int_\frac\pi2^\pi\frac{17\,\mathrm{d}t}{1+(\cos t)^2}
\]
leidmiseks teeme muutujavahetuse $v=\tan t$, siis $(\cos t)^2=\frac1{1+v^2}$ ning $\mathrm{d}v = (1+v^2)\mathrm{d}t$, mistõttu $\frac{\mathrm{d}t}{1+(\cos t)^2}=\frac{\mathrm{d}v}{2+v^2}$.

Kumbki integraal tuleb formaalselt leida eraldi, sest $t=0\ldots\frac\pi2 \Rightarrow v=0\ldots\infty$ ning $t=\frac\pi2\ldots\pi\Rightarrow v=-\infty\ldots0$. Kuna $\int \frac{\mathrm{d}v}{2+v^2}=\frac1{\sqrt{2}}\arctan \frac{v}{\sqrt{2}}+C$, siis kokkuvõttes
\begin{align*}
\int_0^\pi\frac{17\,\mathrm{d}t}{1+(\cos t)^2}&=
17\lim_{V\to\infty}\int_0^V \frac{\mathrm{d}v}{2+v^2}+17\lim_{V\to-\infty}\int_{V}^0\frac{\mathrm{d}v}{2+v^2}=\\
&=\frac{17}{\sqrt{2}}\lim_{V\to\infty}\left(\arctan\frac V{\sqrt{2}}-\arctan 0\right)+
\frac{17}{\sqrt{2}}\lim_{V\to-\infty}\left(\arctan 0-\arctan\frac V{\sqrt{2}}\right)=\\
&=\frac{17\pi}{\sqrt{2}}.
\end{align*}

Niisiis
\[
\int_0^\pi \frac{\cos 4t}{1+(\cos t)^2}\,\mathrm{d}t=4\pi-16\pi+\frac{17\pi}{\sqrt{2}}=\pi\cdot\left(\frac{17}{\sqrt{2}}-12\right).
\]


\emph{Lahendus 2.} Saame, et
\[
\int_0^\pi \frac{\cos 4t}{1+(\cos t)^2}\,\mathrm{d}t=\int_0^\pi \left(\Realpart\frac{\mathrm{e}^{4\mathrm{i}t}}{1+(\cos t)^2}\right)\mathrm{d}t=
\Realpart\int_0^\pi\frac{\mathrm{e}^{4\mathrm{i}t}}{1+(\cos t)^2}\,\mathrm{d}t=
\Realpart\int_0^\pi\frac{\mathrm{e}^{4\mathrm{i}t}}{1+\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}}{2}\right)^2}\,\mathrm{d}t.
\]
Kuna 
\[
1+\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}}{2}\right)^2=\frac{4+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}+2+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}}{4}=\frac{6+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}}{4},
\]
siis
\[
\int_0^\pi \frac{\cos 4t}{1+(\cos t)^2}\,\mathrm{d}t=
4\Realpart\int_0^\pi\frac{\mathrm{e}^{4\mathrm{i}t}}{6+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}}\,\mathrm{d}t.
\]
Teeme muutuja vahetuse $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}=z$, siis reaalmuutuja $t$ rajad $0$ kuni $\pi$ annavad kompleksmuutuja $z$ järgi integreerimise üle komplekstasandi ühikringjoone vastupäeva. Arvestama peame, et $\mathrm{d}z=\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}\right)=2\mathrm{i}\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}\mathrm{d}t=2\mathrm{i} z \,\mathrm{d}t$, mistõttu saame, et
\[
\int_0^\pi \frac{\cos 4t}{1+(\cos t)^2}\,\mathrm{d}t=
4\Realpart\int_{|z|=1}\frac{z^2}{6+z+\frac1z}\,\frac{\mathrm{d}z}{2\mathrm{i}z}=2\Realpart\int_{|z|=1}\frac1{\mathrm{i}}\cdot \frac{z^2}{z^2+6z+1}\,\mathrm{d}z.
\]
Nimetaja $z^2+6z+1$ nullkohad on $-3\pm \sqrt{8}$, millest $z_0=-3+\sqrt{8}$ jääb ühikringi sisse, teine jääb välja. Järelikult on funktsioonil $f(z)=\frac{z^3}{\mathrm{i}\cdot(z^2+6z+1)}$ punktis $z_0$ esimest järku poolus.

Resiidide teooria põhiteoreemi (integraal üle kinnise kontuuri võrdub kontuuri sisepiirkonda jäävate resiidide summaga, mida on korrutatud teguriga $2\pi\mathrm{i}$) kohaselt 
\[\int_{|z|=1} \frac{z^2}{\mathrm{i}\cdot(z^2+6z+1)}\,\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\res(f(z), z_0)=2\pi\mathrm{i}\cdot \frac{z_0^2}{\mathrm{i}(2z_0+6)}=2\pi\cdot\frac{9-6\sqrt{8}+8}{-6+2\sqrt{8}+6}=2\pi\cdot\frac{17-12\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}.
\]
Kokkuvõttes
\[
\int_0^\pi \frac{\cos 4t}{1+(\cos t)^2}\,\mathrm{d}t=
2\Realpart\int_{|z|=1}\frac1{\mathrm{i}}\cdot \frac{z^2}{z^2+6z+1}\,\mathrm{d}z=\pi\cdot\left(\frac{17}{\sqrt{2}}-12\right).
\]


\emph{Lahendusidee 3.} (Nii ei ole soovitav lahendada, kuna arvutit pole käepärast!)

Teostame funktsiooni $f(t)=\frac{\cos 4t}{1+(\cos t)^2}$ avaldises muutujavahetuse $u=\tan \frac t2$.
(Sellisel juhul $\cos t=\frac{1-u^2}{1+u^2}$.)

Lugejas on
\begin{align*}
\cos 4t&=2(\cos 2t)^2-1=2(2(\cos t)^2-1)^2-1=8(\cos t)^4-8(\cos t)^2+1=\\
&=8\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^4-8\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2+1=\frac{u^8-28u^6+70u^4-28u^2+1}{(1+u^2)^4}
\end{align*}

Nimetajas
\[
1+(\cos t)^2=1+\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2=\frac{2(1+u^4)}{(1+u^2)^2}.
\]

Lisaks
\[
\mathrm{d}u=\mathrm{d}\left(\tan \frac t2\right)=\frac12\cdot \left(1+\left(\tan \frac t2\right)^2\right)\mathrm{d}t,\]
mistõttu
\[
\mathrm{d}t=\frac{2\,\mathrm{d}u}{1+u^2}.
\]
Rajad $0\ldots \pi$ muutuvad rajadeks $0\ldots\infty$.

Kokkuvõttes leiame, et
\begin{align*}
\int_0^\pi \frac{\cos 4t}{1+(\cos t)^2}\,\mathrm{d}t&=\int_0^\infty \frac{u^8-28u^6+70u^4-28u^2+1}{(1+u^2)^4}\cdot\frac{(1+u^2)^2}{2(1+u^4)}\cdot\frac{2}{1+u^2}\,\mathrm{d}u=\\
&=\int_0^\infty \frac{(u^8-28u^6+70u^4-28u^2+1)(1+u^2)}{(1+u^2)^4(1+u^4)}\mathrm{d}u
\end{align*}

Integraali all on ratsionaalmurd (lihtmurd). Kuna 
\[
1+u^4=(1+2u^2+u^4)-2u^2=(1+u^2)^2-(\sqrt 2 u)^2=(1-\sqrt 2 u+u^2)(1+\sqrt{2} u + u^2),
\]
siis nimetajas olevad taandumatud tegurid on $1+u^2$, $ 1-\sqrt 2 u+u^2$ ja $1+\sqrt{2} u + u^2$.

Tuleb leida integrandi esitus algmurdude summana ning integreerida kõik algmurrud. Tülikas on see, et tekivad algmurrud, mille kõrgeim aste on $(1+u^2)^4$ ning selliste murdude integreerimine on tüüpiliselt järkjärguline ositi integreerimine.
\end{enumerate}
\end{document}


