2. Paraksiaalne lähendus

2. Paraksiaalne lähendus

2.1 Murdumine sfäärilisel pinnal paraksiaalses lähenduses

Olgu kahe keskkonna (murdumisnäitajad n1, n2) lahutuspind sfääriline kõverusraadiusega |R| (Jn 2.1). Rõhutamaks, et järgnevas käsitluses on kõik lõigud positiivsed, kasutame absoluutväärtuse märke. Ese P1 paikneb lagipunktist L kaugusel . Sirget, mis läbib eset, lagipunkti ja sfääri tsentrit nimetatakse optiliseks teljeks. Mingi esemest lähtuv kiir langeb piirpinnale punktis Q ja pärast murdumist lõikub optilise teljega punktis P2, mis ongi eseme kujutiseks.

Jn 2.1 Murdumine sfäärilisel pinnal

Kujutise kauguse  ning eseme kauguse  vahelise seose leidmiseks kasutame siinusteoreemi

 (kolmnurk P1QC) ja  (kolmnurk QP2C)

Arvestades avaldise teisendamisel, et  saame

   ja .

Murdumisseadus  lubab avaldisi kombineerides saada (2.1).Paraksiaalses *10 lähenduses vaadeldakse kujutise tekkimisel vaid neid kiiri, mis moodustavad optilise teljega väikese nurga st ning . Seega võime lugeda, et  ja  ja teisendades (2.1) saame(2.2).Näeme, et puudub sõltuvus nurkadest  st paraksiaalses lähenduses kõik esemest P1 lähtuvad kiired koonduvad pärast murdumist punktis P2 - homotsentriline kiirtekimp jääb pärast murdumist homotsentriliseks.

Paraksiaalses lähenduses on meil tegemist ideaalse juhuga – punktile esemeruumis vastab punkt kujutiseruumis. 
Teades murdumisnäitajaid, kõverusraadiust ja eseme asukohta saab üheselt määrata kujutise asukoha. 
Näide 1: olgu n1 = 1; n2 =1,5; m ja m, kujutise kauguseks saamem. Paraku on valemi (2.2) rakendatavuspiirkond sellisel kujul piiratud. 
Näide 2: kui võtta m, saame m st absoluutväärtus on negatiivne (!) –valem (2.2) ei tööta. 
Andmaks (2.2)-le universaalsemat kuju tuleb vaadelda valemi suurusi algebralistena st lõigud a1, a2 ja raadius R võivad olla nii negatiivsed kui ka positiivsed. 
Formuleerime märkide reeglid *11. 
Levigu valgus vasakult paremale ja koordinaatide alguspunktiks on lagipunkt (Jn 2.2). 
Kaugusi, mida mõõdetakse murdvast pinnast vasakule s.o. vastu valguse levikusuunale, loetakse negatiivseks. Paremale mõõdetud kaugusi loetakse positiivseks. 
Kõverusraadiusi mõõdetakse pinnast kõverusraadiuse tsentri suunas. Vasakul paiknevad raadiused on negatiivsed, paremal paiknevad aga positiivsed. 
Kaugusi optilise telje kohal loetakse positiivseteks, kaugusi allpool optilist telge – negatiivseteks.

Jn 2.2 Märkide reeglidArvestades märkide reegleid võib seose (2.2) kirjutada kujul           (2.3)Valem (2.3) peab kehtima sõltumata kauguse a2 ja raadiuse R väärtusest. Rakendame valemit ülaltoodud näidete jaoks. 
Näide 1 a1 = - 4 m; R = + 1 m   a2 = + 6 m st kujutis paikneb lagipunktist paremal ja on seega tõeline, sest optilise teljega lõikub kiir. 
Näide 2 a1 = - 0,5 m; R = + 1 m a2 = - 1 m; kujutis paikneb lagipunktist vasakul, on näiline, sest optilise teljega lõikub kiire pikendus. 
Langegu vasakult keskkondade lahutuspinnale paralleelne kiirtekimp (ese on lõpmatuses: ). Paralleelne kiirtekimp koondub tagumises fookuses F2 ja fookusekaugus avaldub

 (2.4).

Eesmise fookusekauguse saame, kui paralleelne kiirtekimp langeb lahutuspinnale paremalt ()

 (2.5)

Näeme, et fookusekaugused sõltuvad vaid keskkondade murdumisnäitajatest ja lahutuspinna kõverusraadiusest.

Olgu n1 < n2 (nt õhk/klaas), fookuste asukoht on määratud vaid R-ga (Jn 2.3).

Jn 2.3 Kumera (R > 0) ja nõgusa (R < 0) pinna fookused

Kumera pinna tagumine fookus paikneb murdvast pinnast paremal ja on tõeline, nõguspinna tagumine fookus paikneb pinnast vasakul ja on näiv. 
Tasandit, mis läbib fookust ja on risti optilise teljega nimetatakse fokaaltasandiks. Peale murdumist läätses on kõik fokaaltasandi mingist punktist väljunud kiired omavahel paralleelsed. 
Praktikas on meil ühe murdva pinnaga tegemist harva, kuid on üks väga oluline erand - vt OV2 Optiline silm, joonis 4. 
Valem (2.3) on rakendatav ka peeglite puhul. Tuleb vaid arvestada, et peegeldumisel muutub valguse levikusuund ning langev ja peegelduv kiir levivad samas keskkonnas. Siit järeldub, et valemi kasutamiseks peegli puhul tuleb teha asendus n2 = - n1, saame peegli valemi

 ehk  (2.6).Märgireeglid ei muutu – kui ese/kujutis paiknevad peeglist vasakul, on a1, a2 negatiivsed; nõguspeegli kõverusraadius on negatiivne (R < 0) ja kumerpeeglil positiivne (R > 0). Võttes saame peegli fookusekauguse (2.7);nõguspeegli fookus on tõeline (f < 0) ja kumerpeegli fookus näiv (f > 0). 
Valemist (2.6) järeldub, et kumerpeeglis (a1 < 0, R > 0) tekkiv kujutis on alati näiv (a2 > 0). Sõltuvalt a1-st võib nõguspeegli kujutis olla nii näiv kui ka tõeline. 
Tasapeeglis () tekkiv kujutis on näiv (a2 = - a1).

2.2 Õhuke lääts

Tavaliselt koosneb optiline süsteem rohkem kui ühest murdvast/peegeldavast pinnast. Kui pindade kõverusraadiuste tsentrid on ühel sirgel, on meil tegemist tsentreeritud optilise süsteemiga. Kahe murdva pinna poolt ääristatud läätse (Jn 2.4) nimetatakse õhukeseks, kui lagipunktide L1, L2 vaheline kaugus d on palju väiksem murdvate pindade kõverusraadiustest R1, R2. Sellisel juhul sulavad L1, L2 kokku läätse optiliseks tsentriksL. Sirget, mis läbib optilist tsentrit L ja kõverusraadiuste tsentreid C1, C2 nimetatakse optiliseks peateljeks.

Jn 2.4 Murdumine õhukeses läätses; kõverusraadiused R1(tsenter C1), R2 (tsenter C2); keskkondade murdumisnäitajad n1, n3; läätse murdumisnäitaja n2.Kui teist murdvat pinda ei oleks (st paremal murdvast pinnast oleks vaid keskkond murdumisnäitajaga n2), siis tekiks esimese murdumise tulemusena kaugusel  kujutis . Tema asukoha saab leida rakendades valemit (2.3)

.

Teise murdva pinna jaoks on  (näivaks) esemeks. Leidmaks kujutise P2 asukohta tuleb uuesti kasutada valemit (2.3)

.

Tavaliselt on keskkond vasakul ja paremal läätsest ühesugune (n3 = n1)

    ja.

Liites esimese ja teise avaldise saame

       ehk      (2.8),

kus N21 on suhteline murdumisnäitaja. Valem (2.8) kehtib mistahes õhukese läätse (Jn 2.5) puhul, tuleb vaid arvestada märkide reegleid.

Jn 2.5 Õhukesed läätsed: 1 – kaksikkumer; 2 – kaksiknõgus; 3 – tasakumer; 4 – tasanõgus; 5 – positiivne menisk; 6 – negatiivne menisk.Tagumise fookusekauguse saame, kui        (2.9); 
eesmise fookusekauguse leidmiseks peab  (2.10). 
Lähtudes seostest (2.9, 2.10) võib valmistada etteantud fookusekaugusega ja kujuga (Jn 2.5) läätse. Seetõttu nimetatakse neid seoseid läätsevalmistaja valemiks. 
Kui läätse ümbritseb ühesugune keskkond, siis on fookusekaugused suuruselt võrdsed ja vastasmärgilised f1 = - f2 (2.11) 
st nad paiknevad teine teisel pool läätse. Kui , siis  . 
Sõltuvalt R1, R2 märgist ja suurusest, aga samuti (N21-1) märgist võib f2 olla nii positiivne kui ka negatiivne st fookus võib olla nii tõeline kui ka näiv. Kui f2 on näiv, siis on seda ka f1 ja vastupidi. 
Tõeliste fookuste puhul räägime koondavast läätsest, näiliste fookuste korral on lääts hajutav. 
Lähtudes seostest (2.8, 2.9, 2.10), võime läätse valemi esitada kujul

         (2.12),                kus f = f2 = - f1.

2.3 Kujutise graafiline leidmine 
Eseme/kujutise vahekorra esmaseks kiireks hindamiseks on sobivaim graafiline meetod. Sfäärilistest elementidest koosnev optiline süsteem on telgsümmeetriline *12, seetõttu saab piirduda kujutise leidmisega optilist peatelge läbivas tasandis. 
Eseme mingist punktist P1 (Jn 2.6) langeb läätsele lõpmata palju kiiri, mis pärast murdumist koonduvad punktis P2. Graafilise meetodi puhul valitakse kiirtekimbust välja põhikiired, mille käik on teada.

Jn 2.6 Eseme punkti P1 kujutise P2 formeerumisel osaleb kogu läätse läbiv kiirtekimp; 
P2 asukoha määramiseks piisab kahest kiirest.Põhikiiri on kolm (Jn 2.7):

  1. Optilise peateljega paralleelne kiir; pärast murdumist läbib see kiir fookuse F2.
  2. Fookust F1 läbiv kiir kulgeb pärast murdumist paralleelselt optilise peateljega.
  3. Läätse optilist tsentrit läbiva kiire (tsentraalse kiire) siht ei muutu. Selle kiire siht ei muutu, kuna õhukese läätse keskosa kujutab endast praktiliselt tasaparalleelset plaati. Tasaparalleelse plaadi läbimisel toimub vaid kiire nihe. Nihet võib õhukese läätse puhul lugeda tühiseks.

Jn 2.7 *13  Kujutise konstrueerimine; koondav lääts;  ese on kaugemal kui fookusekaugus.Olgu nüüd ese läätse ja fookuse vahel, lääts on endiselt koondav (Jn 2.8). Kiirte 1 ja 3 joonistamisega probleeme ei teki. Kiir 2 aga tuleb tõmmata nii, et tema pikendus läbiks eesmist fookust.

Jn 2.8 Kujutise konstrueerimine; koondav lääts;   ese on läätse ja fookuse vahel.

Nagu näha, pärast murdumist kiired ei lõiku – kujutis on näiv ja tema asukoht on määratud kiirte pikenduste lõikepunktiga. 
Hajutava läätse fookused on näivad ning võrreldes koondava läätsega on nende asukohad vahetunud (Jn 2.9). Kiir 1 kulgeb pärast murdumist nii, et tema pikendus läbib fookust F2 (NB ! F2paikneb eespool läätse). Kiir 2 tuleb tõmmata nii, et tema pikendus läbiks fookust F1. Näiva kujutise asukoht on määratud murdunud kiirte pikenduste lõikepunktiga.

Jn 2.9 Kujutise konstrueerimine; hajutav lääts;  kiirt 3 pole joonisel kujutatud.

Kujutise konstrueerimiseks peeglis kasutatakse kiire 3 asemel kiirt, mis läbib peegli kõverusraadiuse tsentrit C; pärast peegeldumist levib kiir uuesti läbi tsentri. 
Kujutise konstrueerimine kumerpeeglis on toodud Jn 2.10. Kumerpeegli fookus on näiv. Kiir 1 peegeldub nii, et tema pikendus läbib fookust. Kiir 2 aga joonistatakse nii, et tema pikendus läbiks fookust, pärast peegeldumist levib see kiir paralleelselt optilise teljega. Kiire 3 pikendus läbib kõverusraadiuse tsentrit, pärast peegeldumist levib kiir samas sihis mis langev kiir. Kujutis on näiv ja tema asukoha saame peegelduvate kiirte pikenduste lõikepunktis.

Jn 2.10 Kujutise konstrueerimine; kumerpeegel.

2.4 Newtoni valem

Mõningatel juhtudel on otstarbekas siduda eseme ja kujutise asukoht mitte kaugustega läätsest (valem (2.12)), vaid kaugustega fookustest. Jooniselt 2.11 johtub, et eseme suurus y1 ja kujutise suurus y2 on seotav, kasutades ühtemoodi viirutatud kolmnurkade sarnasust.

Läätsest vasakul               ja läätsest paremal . 
Elimineerides seostest  saame Newtoni valemi

                 (2.13).

Jn 2.11 Newtoni valemi tuletamine

NB ! Kaugusi x1 ja x2 loetakse nüüd vastavatest fookustest ja kehtib sama märkide reegel, mis a1 ja a2 puhul. Newtoni valem on universaalsem kui (2.12) ja rakendatav mistahes optilise süsteemi puhul, mille fookusekaugused on teada. 
Kui läätse ümbritseb ühesugune keskkond, siis

       (2.14).

2.5 Suurendus 
Eristatakse risti-, piki- ja nurksuurendust. 
Ristisuurendus on oluline optilise süsteemi puhul, mis projekteerib kujutise ekraanile või filmilindile.

Jn 2.12 Ristisuurendus.

Ristisuurendus MT on defineeritud kui lõikude y2 ja y1 suhe (Jn 2.12). Kuna kolmnurgad  ja  on sarnased, siis

 (2.15).

Vastavalt märkide reelitele on y2 negatiivne, seega on ka suurendus joonisel kujutatud juhul (tõeline kujutis !) negatiivne. 
Pikisuurendus iseloomustab ruumilise eseme kujutise teravust ekraanil (‘sügavusteravus’). 
Pikisuurendus on defineeritud (jn 2.13) kui  (2.16).

Jn 2.13 Pikisuurendus.

Pikisuurendus on alati positiivne, sest  ja  on samamärgilised. Saab näidata [4], et piki- ja ristisuurendus on seotud valemiga           (2.17).

Nurksuurendust vaatleme osas 5.1 Luup.

2.6 Optiline tugevus

Interpreteerime eespool saadud tulemusi lähtudes lainefrondi mõistest. 
Punktallikas kiirgab sfäärilise laine. Lainefrondi kõveruseks nimetatakse tema raadiuse pöördväärtust. Vastavalt kokkuleppele mõõdetakse kõverusraadiusi  lainefrondist. Hajuva valguse kõverus on negatiivne, sest kõverusraadiuse tsenter on lainefrondist vasakul. Koonduva valguse lainefrondi tsenter on lainefrondist paremal ja järelikult on tema kõverus positiivne. Kvantitatiivselt mõõdetakse kõverust dioptrites (D). Dioptri dimensiooniks on pöördmeeter (m-1). 
Näide: 2 m kaugusel olevast punktist lähtuva valguse kõverus on -0,5 dioptrit; valguse, mis koondub 4 m kaugusel olevasse punkti, kõveruseks on +0,25 dioptrit. 
Kui valgus levib keskkonnas, mille murdumisnäitaja on n, siis kasutatakse taandatud kõveruse mõistet

 (2.18).

Optiline süsteem muudab talle langeva laine kõverust. Optilise süsteemi võimet muuta laine kõverust iseloomustatakse optilise tugevusega P. Optiline tugevus võrdub fookusekauguse pöördväärtusega. Nii nagu kõverust, mõõdetakse ka optilist tugevust dioptrites. Koondava läätse optiline tugevus on positiivne, hajutava läätse oma – negatiivne. 
Pöördume tagasi läätse valemi (2.12) juurde

.

Kõveruse/optilise tugevuse terminoloogiat kasutades on  valguse sisendkõverus V1 on väljundkõverus V2 ning  on läätse optiline tugevus P. Läätse valem omandab lihtsa kuju

   (2.19).

Seos näitab, kuidas optiline süsteem muudab lainefrondi kõverust. Optilise tugevuse kasutamine lihtsustab matemaatilisi teisendusi, seda eriti mitmest läätsest koosneva süsteemi korral.

2.7 Paks lääts ja läätsede süsteem

Kui lääts on paks või meil tegemist mitmest läätsest koosneva süsteemiga, kaotab optiline tsenter L (Jn 2.4), millest mõõdeti lõike a1, a2, f1, f2 oma mõtte. Kuidas toimida, et õhukese läätse puhul saadud seosed oleks rakendatavad ka nüüd? 
Langegu eesmisest fookusest F1 lähtuv kiir esimesele murdvale pinnale punktis A (Jn 2.14). Kiir murdub ja langeb tagumisele murdvale pinnale punktis B, kus toimub uus murdumine. Kuna kiir väljus eesmisest fookusest, on väljuv kiir parallelne optilise peateljega. Pikendame sisenevat ja väljuvat kiirt. Pikendused lõikuvad punktis E. Kui korrata sama protseduuri teiste F1 väljuvate kiirte jaoks, saame, et kõik punktid E on samas tasandis H1, mida nimetatakse eesmiseks peatasandiks. Peatasandi lõikepunkti optilise peateljega nimetatakse peapunktiks.

Jn 2.14 Paks lääts; eesmise peatasandi leidmine.

Suunates läätsele kiire tagumisest fookusest, saame analoogilisel viisil tagumise peatasandi H2. 
Kui peatasandid on teada, võime kujutise konstrueerimiseks kasutada sama graafilist meetodit, mis õhukese läätse puhul. Samuti on kasutatavad õhukese läätse jaoks tuletatud analüütilised seosed.

Jn 2.15 Paks lääts; ; põhikiirte käik.

Kiir 1 (Jn 2.15), mis on paralleelne optilise teljega, läbib pärast murdumist tagumise fookuse F2. See kiir määrab tasandi H2 asukoha. Kiir 2, mis läbib eesmise fookuse, määrab eesmise peatasandi H2 asukoha. Kiir 3 kulgeb eesmise peapunktini, siis nihkub piki optilist peatelge kuni tagumise peapunktini ning jätkab oma teed esialgses sihis. Eseme kaugust a1 ja eesmist fookusekaugust mõõdetakse nüüd peatasandist H1; kujutise kaugust a2 ning fookusekaugust f2 aga tasandist H2. 
Peatasandid on mõttelised ja nad ei pruugi asetseda läätse sees (jn 2.16).

Jn 2.16 Peatasandid; tasakumer lääts ja negatiivne menisk

Seni vaatlesime olukorda, kus läätsest vasakul ja paremal oleva keskkonna murdumisnäitajad on samad. Kiire 3 (Jn 2.15) murdepunktid ühtivad sel juhul peapunktidega. Kui aga keskkondade murdumisnäitajad läätsest paremal ja vasemal on erinevad (), siis esemest lähtuv kiir, mis jääb läätsest väljumisel iseendaga paralleelseks, lõikab optilist peatelge punktides N1 ja N2, mida nimetatakse sõlmpunktideks. Vt ka  OV2 Optiline silm, joonis 5.. 
Kõik ülalöeldu kehtib ka juhul, kui meil on paksu läätse asemel mitmest läätsest koosnev süsteem. 
Mistahes optiline süsteem on üheselt määratud, kui on teada tema fookused, peapunktid ja sõlmpunktid. Neid karakteerseid punkte nimetatakse optilise süsteemi kardinaalelementideks.

2.8 Ekvivalentne optiline tugevus 
Kardinaalelementide asukohta saab määrata nii eksperimentaalselt [8] kui ka analüütiliselt. 
Koosnegu optiline süsteem kahest läätsest (Jn 2.17). Olgu esimese ja teise läätse fookusekaugus vastavalt f1 () ja f2 (). Meid huvitab süsteemi kui terviku optiline tugevus ja fookusekaugus.

Jn 2.17 Ekvivalentne optiline tugevus; joonisel on kujutatud vaid peatasand H2;

.

Optilise peateljega paralleelne kiir langeb esimesele läätsele kõrgusel h1 ning teisele läätsele kõrgusel h2. Paremal esimesest läätsest on paraksiaalses lähenduses () murduva kiire tõus 
 ehk kasutades optilist tugevust         (2.20). 
Analoogiliselt võime kirjutada kiire jaoks, mis on teisest läätsest paremal . 
Liites avaldised saame              (2.21). 
Süsteemi kui tervikut iseloomustab fookusekaugus f (), mida mõõdetakse peatasandist H2. Tõusunurk u2 avaldub süsteemi optilise tugevuse kaudu  (2.22). 
Seostest (2.21), (2.22) saame  (2.23). 
Joonise (2.17) alusel võib kirjutada ehk . 
Valemist (2.20) asendame u      ja (2.23) omandab kuju . 
Kahest läätsest koosneva optilise süsteemi ekvivalentne optiline tugevus avaldub

 (2.24).Pöördudes tagasi fookusekauguste juurde, saab pärast teisendusi leida süsteemi fookusekauguse

 (2.25).

Kui kaks õhukest läätse on kontaktis () avaldub ekvivalentne optiline tugevus 
 ja fookusekaugus  (2.26). 
Kui meil on läätsede asemel kaks murdvat pinda (vahekaugus d), mille vahel on keskkond murdumisnäitajaga n saame seosed paksu läätse jaoks  (2.27),  (2.28).

2.9 Maatriksoptikast

Põhimõtteliselt võiks kasutada eelnevas punktis kirjeldatud meetodit kuitahes paljudest elementidest koosneva optilise süsteemi korral. Praktikas on see meetod aga kohmakas ja vähe-ülevaatlik. 
Maatriksoptikas iseloomustatakse kiirt mingis optilise peateljega ristiolevas tasandis kaugusega teljest y ja tõusunurgaga u. Mingit murdvat pinda iseloomustab  maatriks R ja kiire kulgemist murdvate pindade vahel maatriks T. Maatrikskujul avaldub näiteks läätse sisendparameetrite y1, u1 ja väljundparameetrite y2, u2 vaheline seos kujul

,

seega seisneb väljundkiire leidmine teisendusmaatriksite järjestikuses rakendamises sisendkiirele. Kui teisendusmaatrikseid on m, saame

.

ABCD maatriksi elemendid on üheselt seotud optilise süsteemi kardinaalelementidega. 
Maatriksoptika põhiseisukohad koos näidetega on esitatud eestikeelses Ilmar Rammo raamatus [9].